[지난 기사](클릭)에 이어 오늘은 학생부 세특에서 학업역량을 돋보이게 할 수 있도록 '미적분'을 주제로 수학 탐구보고서를 작성하는 방법을 소개한다. 낮은 내신 등급에도 불구하고, 학종으로 명문대에 합격하고 싶다면 '탐구보고서'를 통해 학업역량을 어필해야 함을 꼭 명심하자. 

Chapter 3 | 미적분의 발견 

주제 선정 및 이유 

Team A : 미적분학의 실생활 응용 (라이프니츠 관점) 
미적분은 뉴턴과 라이프니츠가 창시한 것으로 알려져있다. 현대에는 그 중 라이프니츠의 미적분이 더 많이 사용되고 있다. 뉴턴의 미적분이 더 빨리 개발됐음에도 불구하고, 라이프니츠의 미적분을 더 많이 사용하는 이유와 미적분학이 현대에서 어떤 식으로 적용되는지 사례를 탐구했다. 

 

Team B: 미적분학의 시초 (뉴턴의 관점) 
미적분의 역사에서는 적분을 가장 먼저 사용했다. 고대 그리스 시대 아르키메데스가 구분 구적법을 이용해 포물선과 직선에 둘러 쌓인 부분의 넓이, 구와 원기둥의 넓이 등을 구한 것이 그 시초다.

미적분은 적분에 비해 변화하는 세계를 다룬다. 그 획기적 아이디어는 1600년대 중반 이후 뉴턴과 라이프니츠, 두 천재로부터 나왔다. 우리는 어느 수학자가 미적분을 먼저 발견했는지, 두 수학자의 일화를 조사해보았다. 

이론적 배경 1 
Team A : 미적분 기호의 정립. 라이프니츠 
라이프니츠의 공적은 일반적인 개념을 인지해 일반적인 방법의 표현에 적합한 기호를 발견한 데 있다. 라이프니츠는 합들(sums)을 구하는 과정의 연구에서 출발했는데 이것을 ʃy 의 기호로 표시하였다. (ʃ는 S자를 길이로 늘린 것) 적분 기호 ʃ 의 규칙성을 찾기 위해서, 역의 과정에는 기호 d를 도입했는데 이것은 미분을 발견하기 위한 것이다. 

Team B : 미적분 이론 논쟁의 역사. 그 승자는 뉴턴
1665년에 뉴턴이 유율법을 발명했다. 1673년 라이프니츠가 런던 왕립학회를 방문했을 때, 뉴턴의 미 출간 논문들 중 일부를 본 것은 분명한 것으로 알려져있다. 라이프니츠는 1684년 잡지 '악타 에루디토룸'에 자신의 이름으로 미적분을 발표했다. 카발리에리의 방법을 따른 원자론에 '연속률'이라는 원리를 덧븉여 뉴턴의 극한개념을 설명한 것이다. 

뉴턴은 1704년 자신의 저서 '광학'에 미적분 논문을 발표했다. 파티오는 같은 해 "미적분은 뉴턴이 발견한 것인데 뉴턴이 독일을 방문했을 때 흘렸던 아이디어를 라이프니츠가 도용한 것"이라고 말했다. 논쟁 이 이어지자 영국 왕립학회에서는 1715년, 뉴턴이 미적분법의 최초 창시자임을 발표했다. 

이론적 배경 2 
Team A : 라이프니츠가 발견한 미적분 
뉴턴은 라이프니츠에게 보낸 편지에서 자신이 미분 관련 아이디어를 라이프니츠에게 얘기했고 라이프니츠가 이를 가로챘다고 주장한다. 라이프니츠가 미분법을 세상에 공표한 것이 1684년이니, 얼핏 이 주장은 그럴듯하게 들린다. 

그러나 라이프니츠는 자신의 연구는 뉴턴의 이론과 독립적으로 진행됐고 미분법을 뉴턴보다 먼저 공표했으니 우선권이 자신에게 있다고 맞받아친다. 뉴턴은 그때까지 미분법 논문을 발표하지 않았다. 

두 천재의 싸움은 기실 영국과 유럽 대륙의 자존심 싸움이었다. 이들의 싸움을 부추긴 사람도 당대 최고라 불렸던 수학자들이다. 

뉴턴은 라이프니츠가 자신의 이론을 모방하지 않았다는 것을 알았지만 라이프니츠의 이론이 칭송받자 표절 시비를 제기했다. 영국학술원은 라이프니츠가 도덕적으로 비열할 뿐 아니라 중대한 잘못을 저질렀다고 판결했다. 화가 난 라이프니츠는 이에 반박하는 책을 쓰다가 세상을 떠났다. 

Team B : 뉴턴의 미적분의 아이디어가 된 유율법 
유율법은 고대이래로 운동에 의해서 기술되는 연속적인 양을 다루기 위해서 사용되었고, 무한소 해석에 중요한 개념이 되었다. 뉴턴은 주어진 속도의 크기사이에 대수적 관계의 성립이 되었을 때 두 개의 운동의 속도비, 즉 유율(fluxions)을 결정하기 위하여 유율법을 만들었다. 

뉴턴이 유율의 비를 착안한 것은 극한과 같은 것으로 프라임(prime) 혹은 궁극적 증분량(increments)의 비로 정의하였다. 1676년 뉴턴은 라이프니츠에게 자신의 주장을 암호로 숨겨 보냈다. 

“지금 내가 유율에 관해 계속 설명할 수 없어, 다음 글에 숨겨 보내드립니다.
6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx.” 

“유량을 나타낸 임의의 수가 포함된 방정식을 만들면 유율을 구할 수 있으며, 역으로 유율을 알고 있으면 유량을 나타낸 임의의 수가 포함된 방정식을 세울 수 있다.” 이처럼, 뉴턴은 유율법에서 라이프니츠보다 먼저 미적분에 대한 아이디어를 얻고 있었다. 

이론적 배경 3 
Team A : 곡선도로의 미적분 이론 
자동차가 곡선 도로를 빠져나와 직선 도로에 진입할 때, 운전자가 안전하게 진입할 수 있기 위해서는 수학적 원리에 따른 도로 설계가 필요하다. 

곡선 도로 위를 달리는 자동차는 곡선의 접선 방향으로 나아가려는 성질이 있기 때문에곡선 도로가 끝나는 지점에 연결되는 직선 도로가 곡선 도로의 접선이 되어야 안전한 진입이 가능하게 된다. 이 설계에 사용되는 공식이 바로 라이프니츠의 미분인 것이다. 

Team B : 과속카메라의 미적분 원리 
자동차의 과속을 단속하는 무인 단속 카메라의 경우 자동차가 카메라의 앞에 10m 정도의 간격으로 설치된 감지선을 지나는 데 걸리는 시간을 측정하고 그 사이를 지나는 속도를 계산해 과속을 판단한다. 

무인 단속 카메라의 원리를 살펴보면 구간의 폭이 0에 가까워짐에 따라 해당 구간에서의 평균 속도는 순간 속도에 가까워진다는 미분의 원리를 떠올려볼 수 있다. 이는 뉴턴의 미적분 아이디어라고 할 수 있다. 

이론적 배경 4 

Team A : 라이프니츠 시각에서의 미적분 
라이프니츠는 뉴턴에 비해 좀 더 해석학적인 부분에서 연구를 시작했다. 바로 변화율이라는 것이다. 이는 함수 f'(x)에서 x 가 무한히 작은 증분인 미분의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법이다. 라이프니츠가 창안한 기호는 현재까지도 쓰이고 있는 dy/dx형태의 분수형 기호이다. 

라이프니츠의 기호는 기호학적으로 상당히 큰 의미를 갖는다. dy/dx라는 분수꼴의 기호는 미분을 다룸에 있어 분수연산을 도입할 수 있다는 의미를 내포한다. 즉, dy/dx =1이라는 의미를 시작으로 합성함수의 미분의 연쇄율이나, 역함수의 미분, 더 나아가서는 미분방정식의 풀이에 자주 쓰이는 테크닉인 변수분리 등을 떠올릴 수 있게 한다. 

Team B : 뉴턴 시각에서의 미적분 
먼저 뉴턴은 기하학적 관점에서 출발했다. 당시에 뉴턴이 주로 물체의 역학적 운동에 대해 연구했는데, 이를 기술하기 위해선 곡선의 접선에 대한 연구가 필수적이었다. 무한히 작은 시간간격 사이에 발생하는 두 증분량의 비. 그렇게 시작된 것이 뉴턴의 미분법. 일명 유율법이라 불리는 방법이다. 

또한 뉴턴의 표기법은 f의 도함수를 f'등으로 기술하는 것인데 현재까지도 사용되고 있다. 그렇지만 이 표기법에 수학적인 의의나 기호학적 의의가 있는 것은 아니다. 단지 편의성만 있을 뿐이다. 

느낀점 및 결론 
Team A : 라이프니츠 미적분을 탐구하며 
기호의 실용성을 편의성으로만 따지면 뉴턴의 기호가 편하다. 하지만 그것은 독립변수가 1개인 경우의 이야기이고, 2개 이상인 경우에는 매우 혼란스럽다. 

반면 라이프니츠의 기호는 엄청난 범용성을 가진다. 그러므로 실생활에선 뉴턴의 기호가, 연구의 진행에 있어서는 라이프니츠의 기호가 실용적이라고 할 수 있다. 

미적분의 발견은 뉴턴이라는 사실외에 이렇게 라이프니츠와의 분쟁이 있었다는 사실이 흥미로웠다. 현대에 쓰이는 미적분학의 기호는 라이프니츠의 미적분 기호라는 사실이 수학자들에 대해 탐구하게 된 보람을 느끼게 했다. 

Team B : 뉴턴 미적분을 탐구하며 
각각의 미분연구에 대한 내용을 살펴보면, 뉴턴은 물체의 역학적 현상을 설명하기 위해 미분법을 도입했다. 물체의 역학적 현상은 대부분 시간에 대한 함수로 나타나므로 사실상 뉴턴의 기호만으로도 충분하다는 사실을 알게 됐다. 

라이프니츠보다 먼저 아이디어를 떠올리고, 미적분의 시초가 된 뉴턴. 한 수학자의 고민과 아이디어가 이 세계의 어떠한 영향을 미치고, 변화시키는지 이번 탐구보고서를 쓰면서 많은 점을 느꼈다. 

*자료 출처=러닝폼 

*에듀진 기사 URL: http://www.edujin.co.kr/news/articleView.html?idxno=33202
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