[지난 기사](클릭)에 이어 오늘은 학생부 세특에서 학업역량을 돋보이게 할 수 있도록 '사이클로이드 곡선'을 주제로 수학 탐구보고서를 작성하는 방법을 소개한다. 낮은 내신 등급에도 불구하고, 학종으로 명문대에 합격하고 싶다면 '탐구보고서'를 통해 학업역량을 어필해야 함을 꼭 명심하자. 

Chapter 2 | 사이클로이드 

[1강] 주제 선정 및 이유 
Team A : 수학사의 불화의 사과, 사이클로이드 
그리스 신화에는 트로이전쟁을 일으키게 되는 일명 '불화의 사과'가 나온다. '테티스'와 '펠레우스'의 결혼식에 불화의 여신 '에리스'가 초대받지 못하자, 분노해 결혼식에서 황금사과를 던졌다. 이때 헤라·아테나·아프로디테 여신들이 각자 스스로 가장 아름다운 외모의 소유자라고 생각했으므로 사과를 얻기 위해 싸운다. 

결론이 나지 않자, 목동이었던 '파리스'에게 누가 가장 아름다운지 결정하도록 한다. 아프로디테가 "나를 선택하면 세상에서 가장 아름다운 여자를 선물로 주겠다"는 제안을 해 아프로디테를 선택하게 된다. 결국 파리스는 왕비 '헬레네'를 아내로 맞게 되지만, 이 황금 사과는 결국 트로이 전쟁을 일으키는 발단이 되고 만다.

그런데 수학사에서도 이와 같은 '불화의 사과'가 존재했다고 해서 흥미가 생겼고, 어떤 이론이 이와 같은 불화를 만든 것인지 궁금해 조사하게 됐다.  

Team B : 자전거에서 발견한 사이클로이드 
학교 수업 시간에 수학 선생님께서, 자전거 앞바퀴에 껌이 붙어있다고 생각했을 때 바퀴가 굴러감에 따라 껌이 움직이는 모습이 곡선의 적분값을 구하라는 흥미로운 문제를 내주셨다. 

문제는 매우 어려웠으나, 실제 적분값이 꽤 간단히 나와 관심을 갖게 됐다. 탐구하다 보니 이것이 바로 '사이클로이드 곡선'이라는 것을 알게 됐다. 이밖에 생활 속에서도 여러 가지 사이클로이드 곡선이 있을 것 같아 더 깊이 탐구하고자 한다. 

[2강] 이론적 배경 
Team A : 파스칼의 치통도 잊게 만든 '불화의 사과', 사이클로이드 

갈릴레오, 데카르트, 페르마, 토리첼리, 요한 베르누이, 뉴턴, 라이프니츠 등과 같은 뛰어난 수학자들이 17세기에 들어서면서부터 사이클로이드에 대해 연구를 시작했다. 

당시 수학자들은 사이클로이드를 누가, 무엇을 처음 발견했는가 하는 논쟁과 표절시비가 빈번했다. 그래서 '불화의 사과'라는 별명이 붙게 됐다. 파스칼은 사이클로이드를 연구하며 고통스러운 치통을 잊고 단 8일 만에 사이클로이드의 거의 완전한 기하학적 설명을 만들어냈다. 

Team B : 실생활 속 사이클로이드 

놀이기구나 미끄럼틀을 보면 가장 최단 거리인 직선이 아닌 곡선 모양으로 돼있음을 볼 수 있다. 실제로 직선 미끄럼틀보다는 곡선 미끄럼틀이 더 빨리 내려오는 이유는 그 곡선이 사이클로이드기 때문이다. 자동차 기어에 쓰이는 톱니바퀴도 마모를 줄이기 위해 사이클로이드 곡선을 이용했다. 

우리나라 전통 가옥의 기와에도 아름다운 곡선, 사이클로이드가 숨어있다. 사이클로이드 곡선은 경사면에서 가장 빠른 속도를 내는 특징을 가졌기 때문에 기와에 비를 맞을 경우, 빗방울은 최대한 빨리 기와를 타고 흘러 떨어진다. 빗물이 기와에 스며들 새 없이 흘러버리면 빗물로 인해 목조건물이 썩는 것을 방지할 수 있다. 우리 선조들의 훌륭한 지혜가 숨어있는 것이다. 

[3강] 사이클로이드 곡선 
Team A : 에피사이클로이드, 하이포사이클로이드 

사이클로이드를 탐구하다보니, 이와 유사한 방식의 곡선이 존재한다는 걸 알게 됐다. '사이클로이드'란 직선 위를 움직이는 원 위의 한 점의 자취를 말한다. 이밖에도 에피사이클로이드, 하이포사이클로이드가 있다. 에피사이클로이드란 원 밖을 움직이는 또 다른 작은 원 위의 한 점의 자취이며, 하이포사이클로이드는 원 안을 움직이는 또다른 작은 원 위의 한 점의 자취를 말한다. 

Team B : 최단강하곡선, 등시강하곡선 

사이클로이드는 대표적으로 2가지 성질이 있다. 첫번째로는 '최단시간강하곡선'이라는 점이다. 이 덕분에 실생활에서 놀이기구나 미끄럼틀이 사이클로이드 곡선으로 이뤄져 있어 더 스릴을 즐길 수 있는 것이다. 
 

두 번째 성질로는 '등시강하곡선'이 있다. 사이클로이드 선상의 어느 지점이라도 적용되는 중력가속도가 지점마다 달라서 바닥에 도착하는 시간은 똑같다는 성질이다. 

[4강] 사이클로이드 곡선의 응용 
Team A : 기차바퀴의 패러독스 
“기차가 달릴 때, 이 기차의 모든 부분이 기차가 달리는 방향과 같은 방향으로 움직이고 있는 것은 아니다. 기차의 일부는 매 순간마다 기차가 달리는 방향과는 반대방향으로 움직이고 있다.”라는 말이 있다. 얼핏 봐서는 납득이 잘 되지 않을 수 있다. 

사이클로이드를 이용해 설명해보자. 그림을 보면, 선로 위를 회전하는 기차 바퀴의 안쪽에 놓인 점 P1이 그리는 곡선은 P2를 지나 P3로 이어지는 사이클로이드이다. 반면 바깥쪽에 놓인 한 점 Q1은 Q2를 지나 Q3로 이어지며 사이클로이드보다 긴 곡선이 된다. 이 곡선을 ‘긴 사이클로이드’(굵은 곡선)라고 부른다. 여기서 기차 바퀴의 일부분은 기차가 앞으로 진행할 때, 밑 부분에서 기차의 진행방향과는 반대인 뒤로 움직이고 있다는 것을 알 수 있다. 

Team B : 자연속의 사이클로이드 
독수리는 높은 하늘에서도 뛰어난 시력으로 먹이의 아주 작은 움직임을 파악한다. 먹잇감이 도망치기 전에 한시라도 빨리 잡아야 한다. 이때 독수리가 사냥하기에 최적의 궤도가 바로 '사이클로이드 곡선'이다. 최단 거리인 '직선'보다 내려가는 시간이 빠르기 때문에 본능적으로 사이클로이드 곡선을 따라 하늘에서 내려간다. 

[5강] 느낀점 및 결론 
Team A : 역사 속 이론들에서 느낀 사이클로이드 이론 
수학의 '불화의 사과'라고 불릴 정도로 많은 수학자들을 매료시킨 '사이클로이드 곡선'. 역사 속에서도 많은 사람들이 연구하고 활용했다는 사실에 놀라움을 느꼈다. 특히, 우리 선조들도 기와를 그냥 만든 것이 아니라 사이클로이드의 성질을 이용하기 위해 만들었다는 사실이 매우 흥미로웠다. 

어쩌면 수학은 우리가 알게 모르게, 역사 속에서 계속해서 적용되고 발전돼 온게 아닐까 생각하게 됐다. 지금 우리 일상 속에서도 어떠한 수학적 원리가 적용돼 우리를 편리하게 하고 있는지 생각하는 계기가 됐다. 

Team B : 실생활 속에 녹아든 사이클로이드 이론 
사이클로이드를 탐구하면서 이 곡선이 갖는 성질이 실생활에서 뿐만 아니라 자연 속에서도 찾아볼 수 있다는 사실이 흥미로웠다. 사이클로이드 곡선을 연구하면서 우리의 생활이 수학 원리 덕분에 편리해졌다는 사실에 수학의 위대함을 느낄 수 있었다. 

*자료 출처=러닝폼 

*에듀진 기사 URL: http://www.edujin.co.kr/news/articleView.html?idxno=33122 
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